Atributos discretos

Aula 6 · Métodos Filogenéticos Comparativos · PPGBA/UFMS

Diogo B. Provete

Hoje

1. Do DNA ao Mk: processos de Markov
2. O modelo Mk para um caráter binário
3. Dados reais: a perda dos membros nos Squamata
4. Caracteres multiestado
5. Taxas ocultas
6. Evolução correlacionada: de Pagel ao corHMM
7. O modelo de limiar

Onde estamos

1. Do DNA ao Mk: processos de Markov

Como evolui?

Modelos de evolução de sequências

• Processos de Markov homogêneos de tempo contínuo
• Descritos por matrizes Q: matrizes 4 × 4 em que cada elemento é a taxa instantânea de mudança de uma base para outra

\[\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \cdot & q_{AC} & q_{AG} & q_{AT} \\ q_{CA} & \cdot & q_{CG} & q_{CT} \\ q_{GA} & q_{GC} & \cdot & q_{GT} \\ q_{TA} & q_{TC} & q_{TG} & \cdot \end{bmatrix}\]

Visão geral: Holder & Lewis (2003), Nat. Rev. Genet. 4: 275–284.

Transições e transversões

Transições: purina ↔︎ purina ou pirimidina ↔︎ pirimidina. Transversões: purina ↔︎ pirimidina. Redesenhado a partir de S. Carr, Memorial University.

O que é um processo de Markov?

O próximo estado depende só do estado atual, não de como se chegou nele: o processo tem “memória curta”.

Uma visualização interativa das cadeias de Markov: setosa.io/ev/markov-chains.

Pressupostos

• Memória curta: em qualquer instante, a taxa de mudança da base i para a j não depende da história anterior a i
• Tempo homogêneo: as taxas de substituição não mudam com o tempo
• Estacionário: as frequências relativas das bases (π_A, π_C, π_G, π_T) estão em equilíbrio
• Muitos modelos são também reversíveis no tempo: a taxa de i para j é igual à de j para i

Esses pressupostos tornam possível modelar as substituições como um processo estocástico.

Os modelos de substituição

Modelo	Frequências das bases	Taxas	Parâmetros
JC69	iguais (¼ cada)	uma só	0
K2P	iguais	transição ≠ transversão	1
F81	diferentes (A + T ≠ C + G)	uma só	3
HKY85	diferentes	transição ≠ transversão	4
GTR	diferentes	uma por par de bases	8

O K2P existe porque as transições costumam ser mais frequentes que as transversões; o HKY85 combina F81 e K2P; o GTR é o mais geral.

Jukes & Cantor (1969); Kimura (1980); Felsenstein (1981); Hasegawa, Kishino & Yano (1985); revisão em Yang & Rannala (2012). Parâmetros livres além dos comprimentos de ramo.

Por que isso importa aqui?

Os modelos de substituição usam o mesmo arcabouço (processos de Markov) que os métodos comparativos para caracteres discretos: correlação entre caracteres binários, caracteres multiestado, estados ordenados.

Redesenhado de O’Meara (2012), Annu. Rev. Ecol. Evol. Syst. 43: 267–285.

O modelo Mk de Lewis (2001)

O processo de Markov adaptado para caracteres morfológicos: k estados e uma taxa única q para qualquer mudança (o “JC69 da morfologia”).

\[\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} -(k-1)q & q & \cdots & q \\ q & -(k-1)q & \cdots & q \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ q & q & \cdots & -(k-1)q \end{bmatrix}\]

Lewis (2001), Syst. Biol. 50: 913–925.

2. O modelo Mk para um caráter binário

Como evolui?

Quantas vezes os Squamata perderam os membros?

258 espécies, 51 sem membros. Dados de Brandley, Huelsenbeck & Wiens (2008), Evolution 62: 2042–2064, usados na prática.

Dois estados

Mudanças entre os estados

As taxas q₀₁ e q₁₀

q₀₁ e q₁₀ são taxas instantâneas de mudança de estado.

O estado pode mudar ao longo de um ramo

Sabemos o estado no início do ramo (1). Qual a probabilidade de, depois do tempo t, ele ter mudado para 0, ou seja, P₁₀(t)?

A matriz de taxas instantâneas

\[\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} -q_{01} & q_{01} \\ q_{10} & -q_{10} \end{bmatrix}\]

• Linhas: estado de partida; colunas: estado de chegada
• A diagonal é o negativo da soma das outras taxas da linha: cada linha soma 0

Da taxa à probabilidade

As probabilidades de transição ao longo de um ramo de comprimento t vêm da exponenciação da matriz:

\[\mathbf{P}(t) = e^{\mathbf{Q}t}\]

P_ij(t): probabilidade de estar em j no fim do ramo, partindo de i. Cada linha de P(t) soma 1.

Um exemplo passo a passo

q₀₁ = q₁₀ = 0,1 e t = 5 milhões de anos

\[\mathbf{Q}t = \begin{bmatrix} -0{,}1 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & -0{,}1 \end{bmatrix} \times 5 = \begin{bmatrix} -0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & -0{,}5 \end{bmatrix}\]

Com duas taxas iguais, a exponencial tem forma fechada:

\[P_{11}(t) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}e^{-2qt} = 0{,}5 + 0{,}5 \times e^{-1} = 0{,}5 + 0{,}184 = 0{,}684\]

\[e^{\mathbf{Q}t} = \begin{bmatrix} 0{,}68 & 0{,}32 \\ 0{,}32 & 0{,}68 \end{bmatrix}\]

P(t) ao longo do tempo

Com o tempo, as duas probabilidades convergem para as frequências de equilíbrio (0,5 e 0,5): em ramos longos, o estado no início diz pouco sobre o estado no fim.

Taxas lentas, rápidas e desiguais

Simulações com phytools::sim.Mk na árvore dos Squamata (azul: com membros; ferrugem: sem). Ideia de Harmon (2019), cap. 7.

3. Dados reais: a perda dos membros nos Squamata

Como evolui?

Taxas iguais × taxas desiguais

geiger::fitDiscrete(arvore, membros, model = "ER")   # e "ARD"

O resultado

Taxas iguais: log L = -80,5

\[\mathbf{Q}_{ER} = \begin{bmatrix} -0{,}0019 & 0{,}0019 \\ 0{,}0019 & -0{,}0019 \end{bmatrix}\]

Taxas desiguais: log L = -79,4

\[\mathbf{Q}_{ARD} = \begin{bmatrix} -0{,}0016 & 0{,}0016 \\ 0{,}0038 & -0{,}0038 \end{bmatrix}\]

Linhas e colunas na ordem do geiger: com, sem membros.

AICc: 162,99 (ER) × 162,81 (ARD). A diferença é de 0,18: os dados não distinguem os dois modelos, e a taxa maior de “reganho” no ARD não tem suporte.

E a pergunta do início?

O Mk estima taxas, não o número de mudanças. Para contar quantas vezes os membros foram perdidos, é preciso reconstruir a história na árvore.

Os mesmos modelos servem para estimar os estados nos nós internos e para o mapeamento estocástico: é o tema da Aula 7.

Abordagem bayesiana

Em vez de um valor ótimo, a distribuição posterior das taxas.

phytools::mcmcMk(arvore, membros, model = "ARD")   # discretos
geiger::fitContinuousMCMC(arvore, x)               # contínuos

4. Caracteres multiestado

Como evolui?

Quatro estados

Os Squamata da prática: 51 sem membros, 3 só com os anteriores, 41 só com os posteriores e 163 com os quatro.

A matriz de taxas instantâneas

Simétrico: seis parâmetros

SYM: a taxa de i para j é igual à de j para i.

Todas as taxas diferentes: doze parâmetros

Os membros dos Squamata

Modelo	k	log L	AICc	ΔAICc	wi
ER	1	-137,2	276,4	14,7	0,001
SYM	6	-124,7	261,7	0,0	0,942
ARD	12	-121,0	267,3	5,6	0,057

O modelo simétrico vence: as taxas variam entre pares de estados, mas os dados não sustentam taxas diferentes nos dois sentidos.

5. Taxas ocultas

Como evolui?

E se a taxa mudar ao longo da árvore?

Cada estado observado (0, 1) se divide em categorias não observadas (A, B) com taxas próprias: o modelo de Markov oculto (HMM).

Por que importa

• Um Mk com taxa única supõe que todos os clados mudam no mesmo ritmo
• Com taxas ocultas, alguns clados podem ser “lentos” e outros “rápidos”
• A seleção de modelos (AICc) diz se a categoria extra vale o parâmetro a mais

Beaulieu, O’Meara & Donoghue (2013), Syst. Biol. 62: 725–737; pacote corHMM.

6. Evolução correlacionada: de Pagel ao corHMM

Estão associados?

Correlações entre caracteres discretos

Perguntas mais comuns:

• Os dois caracteres evoluem de forma correlacionada?
• Quando o caráter X muda para o estado 1, é provável que Y também mude para 1?

Pagel (1994), Proc. R. Soc. B 255: 37–45.

Modelo independente

As taxas de um caráter não dependem do estado do outro.

Modelo dependente

As taxas de um caráter dependem do estado do outro.

A matriz de Pagel (1994)

Estados (X, Y): 0,0 · 0,1 · 1,0 · 1,1

\[\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} -(q_{12}+q_{13}) & q_{12} & q_{13} & 0 \\ q_{21} & -(q_{21}+q_{24}) & 0 & q_{24} \\ q_{31} & 0 & -(q_{31}+q_{34}) & q_{34} \\ 0 & q_{42} & q_{43} & -(q_{42}+q_{43}) \end{bmatrix}\]

• Os zeros: os dois caracteres não mudam no mesmo instante
• Independente: q₁₂ = q₃₄, q₂₁ = q₄₃, q₁₃ = q₂₄, q₃₁ = q₄₂ (4 taxas); dependente: 8 taxas

O método

1. Ajuste os dois modelos aos dados
2. Veja qual tem mais suporte (razão de verossimilhança ou AICc)
3. Se o modelo independente for favorecido, não podemos dizer que as taxas de evolução dos dois caracteres estão correlacionadas

phytools::fitPagel(arvore, x, y)

Dados da prática (300 espécies): log L = -233,0 (independente) × -206,6 (dependente); p < 0,001.

O problema: pseudorreplicação filogenética

Uma única mudança conjunta, num clado, basta para o teste de Pagel apontar correlação “significativa”.

Por que isso acontece

• O modelo independente supõe taxas constantes em toda a árvore; uma mudança única e não replicada fica muito improvável sob ele
• O modelo dependente “explica” a mudança com taxas a mais, mesmo sem nenhuma relação de causa entre os caracteres
• O mesmo problema afeta os modelos de diversificação (xxSSE), os contrastes e os modelos OU

Maddison & FitzJohn (2015), Syst. Biol. 64: 127–136; Uyeda, Zenil-Ferguson & Pennell (2018), Syst. Biol. 67: 1091–1109.

A saída: taxas ocultas nos dois modelos

Se a variação de taxas ao longo da árvore entra no modelo independente, uma mudança única deixa de favorecer o modelo dependente.

• Compare quatro modelos: independente e correlacionado, cada um com e sem uma categoria de taxas ocultas
• O modelo de Pagel continua sendo a base; muda o modelo nulo

corHMM::fitCorrelationTest(arvore, dados)   # dados: espécie, x, y

Boyko & Beaulieu (2023), Syst. Biol. 72: 476–488; Boyko & Beaulieu (2021), Methods Ecol. Evol. 12: 468–478.

Os dados da prática, de novo

Modelo	log L	AICc	ΔAICc	wi
independente	-233,4	474,9	44,3	< 0,001
independente + taxas ocultas	-206,5	433,8	3,3	0,164
correlacionado	-207,0	430,6	0,0	0,836
correlacionado + taxas ocultas	-205,1	448,7	18,1	< 0,001

O modelo independente com taxas ocultas ajusta quase tão bem quanto o correlacionado: o suporte à correlação continua, mas bem mais modesto do que o teste de Pagel sugeria (p < 0,001).

BayesTraits

• O mesmo modelo de Pagel num arcabouço bayesiano: distribuição posterior das taxas, fator de Bayes para comparar os modelos e reversible-jump MCMC para escolher quais taxas são iguais
• Programa à parte; no R, o pacote btw chama o BayesTraits (exige o executável instalado e não é atualizado desde 2021)
• As taxas ocultas também entram nos modelos do BayesTraits, mas o corHMM faz o teste completo dentro do R

Pagel & Meade (2006), Am. Nat. 167: 808–825; BayesTraits.

7. O modelo de limiar

Estão associados?

Felsenstein (2012)

• Adaptou o modelo de limiar (threshold) da genética quantitativa para os métodos comparativos
• Permite estimar a matriz de covariância entre atributos discretos e contínuos

Diferença em relação ao Mk

• No Mk, as transições são instantâneas e as taxas, constantes
• Mudar de 0 para 1 deixa o caráter com a mesma probabilidade de mudar de 1 para 2: a fixação do estado é muito rápida
• Não é um bom modelo para caracteres morfológicos e ecológicos complexos

Felsenstein (2012), Am. Nat. 179: 145–156.

A ideia vem de Wright (1934)

• Um modelo para entender a polidactilia em porquinhos-da-índia
• Fenótipos discretos (número de dedos) são determinados por um caráter contínuo subjacente e não observado, a liability
• Se esse caráter contínuo cruzar um limiar, o estado muda
• Uma aproximação para caracteres modulados por muitos genes

Wright (1934), Genetics 19: 506–536.

A liability e o limiar

A liability evolui como no BM; só vemos de que lado do limiar ela está. Ideia do blog do phytools; estados ancestrais sob o limiar: Revell (2014), Evolution 68: 743–759.

Correlação pelo modelo de limiar

• Estima a correlação entre caracteres contínuos e categóricos, ou entre dois categóricos
• A correlação é estimada entre as liabilities
• Implementação bayesiana no phytools (threshBayes) ou por verossimilhança no programa threshml, de J. Felsenstein

Felsenstein (2012), Am. Nat. 179: 145–156.

Para fechar

Onde estamos

Leituras

• Revell & Harmon (2022), Phylogenetic Comparative Methods in R: capítulos 6 e 7
• Maddison & FitzJohn (2015): o problema dos testes de correlação
• Boyko & Beaulieu (2023): taxas ocultas como saída

Agora é com vocês

Pagel deu p < 0,001 Mas foi uma mudança só, num clado

Almeida Júnior, Caipira picando fumo (1893), domínio público, via Wikimedia Commons. Prática: o walkthrough da Aula 6 e o desafio.