O movimento browniano e a matriz C

Aula 2 · Métodos Filogenéticos Comparativos · PPGBA/UFMS

Diogo B. Provete

Hoje

1. Do processo ao padrão
2. O movimento browniano (BM)
3. A matriz de covariância filogenética C
4. O BM numa árvore
5. Contrastes independentes

Todas as figuras desta aula foram geradas em R, com simulações ou com a árvore de 7 espécies do exemplo de Freckleton et al. (2002), a árvore-guia do curso. O código está em R/aula02_*.R.

Onde estamos

1. Do processo ao padrão

O BM e a matriz C

Lembram da Aula 1? Uma correlação entre X e Y…

… ou dois clados?

Os dois atributos foram simulados independentes. A “correlação” vem só do parentesco: espécies próximas são mais parecidas, e os graus de liberdade ficam inflados. Hoje: por que espécies próximas se parecem?

Lógica da formulação dos modelos evolutivos

Baseado no esquema de Hansen & Martins (1996).

O caminho inverso não é tão simples…

O caminho dos mecanismos microevolutivos para a variação interespecífica é conceitual. Inferir esses mesmos mecanismos a partir de padrões interespecíficos (filogenéticos) é difícil, senão impossível.

Ideia de um slide de J. A. F. Diniz-Filho, sobre o esquema de Hansen & Martins (1996).

Padrão, não processo

“Phylogenies can only depict patterns, not underlying processes”

Losos (2011), Am. Nat. 177: 709–727.

Por isso, os métodos filogenéticos comparativos podem ser vistos como uma “phylogenetic natural history”: descrevem padrões que pedem explicação, e as explicações vêm de outras linhas de evidência.

Uyeda, Zenil-Ferguson & Pennell (2018), Syst. Biol. 67: 1091–1109.

Modelos de evolução fenotípica

• Movimento browniano (BM): muitos métodos usam este modelo; tratabilidade analítica
• Early burst (EB): incorpora a ideia de radiação adaptativa
• Tendência (trend): incorpora a ideia de tendência vista em fósseis
• Ornstein-Uhlenbeck (OU): incorpora a ideia de restrições na evolução

Hoje, o BM, o modelo nulo. Os outros três ficam para a Aula 4.

2. O movimento browniano

O BM e a matriz C

Robert Brown, botânico

Maull & Polyblank (1855), domínio público, via Wikimedia Commons.

Robert Brown (1773–1858) descreveu o movimento errático de partículas em suspensão na água, que leva o seu nome.

Movimento browniano

• Modelo para a evolução de caracteres contínuos
  • segue um passeio aleatório (random walk)
• O estado do caráter muda continuamente ao longo do tempo
  • processo estocástico de tempo contínuo
• Depois de um tempo e de muitas simulações, o estado do caráter segue uma distribuição normal

O BM entrou na filogenética com Cavalli-Sforza & Edwards (1967), que o usaram para modelar a mudança de frequências gênicas ao longo de uma árvore.

…mas o que é um processo estocástico de tempo contínuo?

Soma dos resultados de 6 dados (de 6 a 36), jogados 10 vezes.

Ideia de um slide de José Hidasi-Neto.

…mas o que é um processo estocástico de tempo contínuo?

O resultado de cada jogada é imprevisível, mas a distribuição de probabilidade de um conjunto de curvas é conhecida (aproximadamente normal) e permite predizer eventos futuros.

Ideia de um slide de José Hidasi-Neto.

Movimento browniano: os parâmetros

Dois parâmetros:

• o valor inicial, \(z_0\) (o estado na raiz);
• a taxa de mudança, \(\sigma^2\).

Cuidado com a notação: em muitos textos o valor inicial aparece como \(\theta\). Neste curso, \(\theta\) fica reservado para o ótimo do modelo Ornstein-Uhlenbeck (Aula 4).

Movimento browniano: o processo de Wiener

Três fatos descrevem um BM. Se \(W(t)\) é o valor do caráter no tempo \(t\):

1. \(E[W(t)] = W(0)\): em média, o caráter não sai do lugar;
2. os incrementos (passos sucessivos) são independentes (“pouca memória”);
3. \(W(t) \sim N\big(W(0),\ \sigma^2 t\big)\).

Traduzindo: o valor do caráter no tempo \(t\) segue uma distribuição normal com média igual ao valor inicial \(W(0)\) e variância igual à taxa vezes o tempo, \(\sigma^2 t\).

A equação do BM

\[\huge \color{#a15e3f}{dX(t)} \;=\; \color{#527238}{\sigma}\; \color{#1c6e8c}{dB(t)}\]

\(dX(t)\): a quantidade de mudança no caráter \(X\) entre o tempo \(t\) e \(t + dt\)

\(\sigma\): a raiz da taxa, que dá a escala de cada passo

\(dB(t)\): o passeio aleatório, um sorteio de uma normal com média 0 e variância \(dt\)

Simulando o BM

Simulando o BM

Simulando o BM

Muitas trajetórias: a distribuição no tempo t

Cada trajetória é imprevisível; o conjunto tem distribuição normal, com média no valor inicial.

Duas linhagens

Depois da especiação, cada linhagem segue o seu próprio passeio aleatório, a partir do mesmo valor.

Duas linhagens, muitas vezes

Três linhagens

Três linhagens, muitas vezes

As linhagens que se separaram mais tarde (vermelha e verde) compartilham mais história, e por isso terminam com valores mais parecidos entre si. É a ideia da matriz C, no bloco 3.

Por que normal? O teorema do limite central

A soma de muitos passos pequenos e independentes tende a uma distribuição normal, qualquer que seja a distribuição de cada passo.

A taxa \(\sigma^2\)

Mesmas sementes nos dois painéis: só muda a taxa. Butler & King (2004) ilustram o BM da mesma forma, ao lado do OU.

A variância cresce com o tempo

Com \(\sigma^2 = 1\), a inclinação estimada nas simulações é 1,00: a variância entre linhagens cresce linearmente com o tempo.

Quando a evolução é descrita por BM?

Quatro processos (deriva; mudança pontuada aleatória; seleção fraca em relação à escala de tempo considerada; seleção que muda de direção aleatoriamente ao longo do tempo) produzem leques como o do BM.

BM: modelo nulo, não hipótese biológica

Processos muito diferentes produzem o mesmo padrão de BM. Ajustar bem um BM não mostra que houve deriva: mostra só que o padrão é compatível com um passeio aleatório.

É o mesmo raciocínio de “sinal filogenético é um padrão, não um processo”, na Aula 3.

3. A matriz de covariância filogenética C

O BM e a matriz C

Como a filogenia influencia a evolução sob BM?

O parentesco comum aumenta ou diminui a similaridade entre espécies em termos de fenótipo?

… mas antes, vamos entender o que é uma matriz de distância filogenética (patrística) e uma matriz de variância-covariância.

Matriz de distância patrística

Matriz de distância patrística

\(d(A, B) = 5 + 3 + 2 = 10\)

Matriz de distância patrística

\(d(B, C) = 2 + 2 = 4\): a distância soma os ramos não compartilhados.

Matriz de variância-covariância

Exemplo de Freckleton, Harvey & Pagel (2002), redesenhado: a árvore-guia do curso.

Matriz de variância-covariância

Espécies de clados que só se encontram na raiz têm covariância zero.

Matriz de variância-covariância

\(\text{var}(sp_1) = 0{,}20 + 1{,}06 + 0{,}18 = 1{,}44\): o caminho inteiro da raiz até a ponta.

Matriz de variância-covariância

\(\text{cov}(1, 2) = 0{,}20 + 1{,}06 = 1{,}26\): só o caminho compartilhado.

Matriz de variância-covariância

\(\text{cov}(1, 4) = 0{,}20\)

Matriz de variância-covariância

\(\text{cov}(3, 4) = 0{,}20 + 1{,}22 = 1{,}42\)

Matriz de variância-covariância

Espécies 3 e 4 são mais parecidas entre si (maior covariância em termos de fenótipo) do que as espécies 1 e 2, porque compartilham maior proporção de história evolutiva comum (1,42 contra 1,26).

A regra geral

\(C_{ij}\) = comprimento do caminho compartilhado da raiz até o ancestral comum mais recente de \(i\) e \(j\). Na diagonal, \(C_{ii}\) = distância da raiz até a ponta \(i\).

Sob BM com taxa \(\sigma^2\), os valores das pontas \(\mathbf{X}\) seguem uma normal multivariada:

\[\mathbf{X} \sim N\big(z_0 \mathbf{1},\ \sigma^2 \mathbf{C}\big)\]

Em R: ape::vcv(arvore). A distância patrística é o complemento: \(d_{ij} = C_{ii} + C_{jj} - 2C_{ij}\).

A mesma filogenia pode gerar diferentes matrizes

Cada modelo evolutivo transforma a árvore numa matriz diferente: é assim que o λ (Aula 3) e o OU (Aula 4) entram nos métodos.

4. O BM numa árvore

O BM e a matriz C

Estrela × árvore

Na estrela, assumimos que as espécies são independentes; na árvore, as espécies têm uma estrutura de parentesco.

O parentesco cria covariação

Em 1000 réplicas de BM na árvore-guia, a correlação entre duas espécies acompanha o caminho que elas compartilham.

A covariância das réplicas é σ²C

Com \(\sigma^2 = 1\), a covariância entre as pontas, estimada das simulações, reproduz C.

Por que isso importa: o erro tipo I

Dois atributos independentes, simulados por BM 1000 vezes numa árvore de dois clados: a regressão comum acusa relação em 62,1 % das vezes; com C no modelo (PGLS), em 4,0 %.

É o “pior caso” de Felsenstein (1985). O PGLS é o tema da Aula 5.

5. Contrastes independentes

Estão associados?

A ideia de Felsenstein (1985)

As espécies não são independentes, mas as diferenças entre espécies irmãs são: cada uma surgiu depois da separação, num ramo próprio.

Com \(n\) espécies, há \(n - 1\) contrastes independentes, um por nó.

Felsenstein (1985), Am. Nat. 125: 1–15. Atributo A do exemplo de Freckleton et al. (2002).

Passo 1: o contraste entre duas irmãs

A diferença, padronizada pelo desvio padrão esperado sob BM:

\[c = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{v_1 + v_2}}\]

\[c = \frac{2{,}51 - 2{,}80}{\sqrt{0{,}18 + 0{,}18}} = -0{,}48\]

Passo 2: o valor do nó

Média dos filhos, ponderada pelo inverso dos ramos:

\[x_k = \frac{x_1/v_1 + x_2/v_2}{1/v_1 + 1/v_2}\]

Com ramos iguais, é a média simples: \(x_{10} = 2{,}66\).

Passo 3: alongar o ramo do nó

O valor do nó é uma estimativa, com incerteza. Ela entra como um acréscimo ao ramo acima do nó:

\[v_k \leftarrow v_k + \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}\]

\(1{,}06 + \frac{0{,}18 \cdot 0{,}18}{0{,}36} = 1{,}15\)

Repetir até a raiz

Nó a nó, das pontas para a raiz: 6 contrastes para 7 espécies.

O valor da raiz (1,83) é a estimativa de máxima verossimilhança do estado ancestral sob BM: voltamos a ele na Aula 7.

Os contrastes de A e de B

Nó	Contraste entre	Contraste de A	Contraste de B
13	sp6 e sp7	0,885	1,637
12	sp5 e nó 13	0,469	-0,330
11	sp3 e sp4	-0,450	-3,600
10	sp1 e sp2	-0,483	-0,850
9	nó 10 e nó 11	0,246	-0,392
8	nó 9 e nó 12	0,996	0,258

Calculados com pic_passos() e conferidos com ape::pic().

Regressão dos contrastes pela origem

Regressão sem intercepto: o sinal de cada contraste depende só da ordem em que as irmãs foram subtraídas, e trocar a ordem tem de dar a mesma reta.

lm(pic_B ~ pic_A - 1)
lm(pic_B ~ 0 + pic_A)

Inclinação: 1,398.

Espécies × contrastes

Mesmos dados, conclusões diferentes: com as espécies tratadas como independentes, a inclinação é 0,13; com os contrastes, 1,40.

PIC = PGLS sob BM

pic_A <- ape::pic(A, arvore)
pic_B <- ape::pic(B, arvore)
lm(pic_B ~ pic_A - 1)                       # contrastes

nlme::gls(B ~ A, data = dados,              # PGLS com C
          correlation = ape::corBrownian(1, arvore, form = ~sp))

	Inclinação
Contrastes (pela origem)	1,3982
PGLS com corBrownian	1,3982

A equivalência é exata sob BM: Blomberg, Lefevre, Wells & Waterhouse (2012), Syst. Biol. 61: 382–391.

Pressupostos dos contrastes

• Topologia e comprimentos de ramo corretos
• Evolução por BM (os ramos são a variância esperada)
• Diagnóstico: o |contraste| não deve depender do seu desvio padrão

O diagnóstico vem de Garland, Harvey & Ives (1992), Syst. Biol. 41.

Para fechar

Onde estamos

Leituras

• Revell & Harmon (2022), Phylogenetic Comparative Methods in R: cap. 2 (contrastes independentes), seção 3.3 (contrastes = PGLS) e seções 4.2–4.5 (o movimento browniano)
• Harmon (2019), cap. 3 e cap. 4: o movimento browniano e o seu ajuste
• Felsenstein (1985): os contrastes independentes
• Freckleton, Harvey & Pagel (2002): a matriz C, o λ e o exemplo da árvore-guia
• Blomberg et al. (2012): PIC e PGLS são equivalentes

Antes de usar qualquer método, leia o artigo que o propôs. Não fazer isso pode causar a rejeição do seu manuscrito.

Agora é com vocês

Teoria peneirada Agora é mão na massa

Almeida Júnior, Cozinha caipira (1895), Pinacoteca do Estado de São Paulo, domínio público, via Wikimedia Commons. Prática: o walkthrough da Aula 2 e o desafio.