Distribuições de probabilidade e a família exponencial

Encontro 4 · Análise de Dados Univariados · PPGBA/UFMS

Diogo B. Provete

22 de setembro de 2026

Onde estamos no ciclo PPDAC

A ponte entre Dados e Análise: a distribuição que escolhemos é uma afirmação sobre o processo que gerou os dados, não sobre a tabela que temos.

A pergunta que organiza a tarde

Que processo plausivelmente gerou a minha variável resposta?

Até agora assumimos sempre o mesmo: ruído gaussiano em torno de uma média. Essa suposição é razoável para algumas medidas e absurda para outras.

Hoje construímos o vocabulário para fazer escolhas melhores — e a ponte para o GLM, que começa amanhã.

Hoje

  1. Productive failure
  2. Variável aleatória: massa e densidade de probabilidade
  3. As distribuições que importam em ecologia
  4. A relação média–variância
  5. Intervalo
  6. A família exponencial
  7. Função de ligação — e por que não é transformar a resposta

Productive failure

Contagens de Raillietiella mottae (Pentastomida) em 195 lagartos de duas espécies, com comprimento rostro-cloacal.

Em grupos: a espécie difere na carga parasitária? Que análise? E o que incomoda vocês nesse histograma?

1. Variável aleatória

Duas famílias de resposta

Discreta — conta coisas. Assume valores isolados: 0, 1, 2, … Tem função de massa: \(P(Y = y)\) é um número que faz sentido.

Contínua — mede coisas. \(P(Y = 3{,}2)\) é zero; o que faz sentido é \(P(3{,}1 < Y < 3{,}3)\). Tem função de densidade.

Isso não é preciosismo: define que distribuições estão disponíveis.

O que “a distribuição” descreve

Não os seus dados. O processo que você supõe ter gerado os dados.

Três amostras do mesmo processo Poisson com média 3. A amostra pequena não “parece” Poisson — e ainda assim é.

2. As distribuições que importam

Mapa rápido

Sua resposta é… Distribuição Parâmetros
medida contínua, simétrica Normal \(\mu\), \(\sigma\)
medida contínua positiva, assimétrica (massa, tempo) Gamma, log-normal forma, taxa
sucesso/fracasso Bernoulli \(p\)
\(k\) sucessos em \(n\) tentativas Binomial \(n\), \(p\)
contagem sem teto Poisson \(\lambda\)
contagem sem teto, mais dispersa Binomial negativa \(\mu\), \(\theta\)
proporção contínua entre 0 e 1 (cobertura, %) Beta \(\alpha\), \(\beta\)

Normal

tibble(x = seq(-4, 12, .05)) |>
  mutate(`σ = 1` = dnorm(x, 4, 1), `σ = 2` = dnorm(x, 4, 2),
         `σ = 3` = dnorm(x, 4, 3)) |>
  pivot_longer(-x) |>
  ggplot(aes(x, value, colour = name)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  scale_colour_manual(values = c("#1c6e8c", "#96661f", "#4f7057")) +
  labs(x = NULL, y = "Densidade", colour = NULL)

Média e variância são parâmetros independentes. Guardem isso: é a exceção, não a regra.

Poisson

crossing(lambda = c(1, 3, 10), k = 0:22) |>
  mutate(p = dpois(k, lambda), lambda = factor(lambda)) |>
  ggplot(aes(k, p, fill = lambda)) +
  geom_col(position = "dodge") +
  scale_fill_manual(values = c("#1c6e8c", "#96661f", "#4f7057")) +
  labs(x = "Contagem", y = "P(Y = k)", fill = "λ")

Um parâmetro só: \(\mathrm{E}[Y] = \mathrm{Var}[Y] = \lambda\). A variância não é livre — é igual à média por construção.

Binomial

crossing(p = c(.2, .5, .8), k = 0:20) |>
  mutate(prob = dbinom(k, 20, p), p = factor(p)) |>
  ggplot(aes(k, prob, fill = p)) +
  geom_col(position = "dodge") +
  scale_fill_manual(values = c("#1c6e8c", "#96661f", "#4f7057")) +
  labs(x = "Sucessos em 20 tentativas", y = NULL, fill = "p")

Nos dados de UV: Eosinophil sucessos em Total_Cell = 100 células.

Binomial negativa

crossing(theta = c(0.5, 2, 50), k = 0:25) |>
  mutate(p = dnbinom(k, size = theta, mu = 5), theta = factor(theta)) |>
  ggplot(aes(k, p, fill = theta)) +
  geom_col(position = "dodge") +
  scale_fill_manual(values = c("#1c6e8c", "#96661f", "#4f7057")) +
  labs(x = "Contagem", y = NULL, fill = "θ")

Mesma média (5), dispersões diferentes. Com \(\theta \to \infty\) ela converge para a Poisson. É a Poisson com uma válvula de escape.

Gamma

tibble(x = seq(0.01, 20, .05)) |>
  mutate(`forma 1` = dgamma(x, 1, .3), `forma 3` = dgamma(x, 3, .6),
         `forma 9` = dgamma(x, 9, 1.2)) |>
  pivot_longer(-x) |>
  ggplot(aes(x, value, colour = name)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  scale_colour_manual(values = c("#1c6e8c", "#96661f", "#4f7057")) +
  labs(x = NULL, y = "Densidade", colour = NULL)

Estritamente positiva e assimétrica: biomassa, tempo até um evento, concentração. Quase sempre melhor do que “log-transformar e usar Normal”.

3. A relação média–variância

A ideia que amarra o curso

Distribuição Variância
Normal \(\sigma^2\) — livre
Poisson \(\mu\)
Binomial \(n p (1-p)\)
Binomial negativa \(\mu + \mu^2/\theta\)
Gamma \(\mu^2 / \text{forma}\)

Em quase toda distribuição que não seja a Normal, a variância é função da média. Por isso a heterocedasticidade que vimos no Encontro 1 muitas vezes não é um defeito a corrigir: é o processo dizendo qual distribuição usar.

Vendo isso nos dados

penta |>
  mutate(classe = cut(CRC, breaks = 6)) |>
  group_by(classe) |>
  summarise(media = mean(Raillietiella_mottae),
            variancia = var(Raillietiella_mottae), n = n()) |>
  ggplot(aes(media, variancia)) +
  geom_point(size = 3, colour = "#1c6e8c") +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 0, colour = "#96661f", linetype = 2) +
  labs(x = "Média da classe", y = "Variância da classe")

A linha tracejada é variância = média (Poisson). Os pontos estão acima dela: sobredispersão. Amanhã à tarde tratamos disso.

Simular para decidir

set.seed(2026)
obs <- penta$Raillietiella_mottae
bind_rows(
  tibble(valor = obs,                             fonte = "Observado"),
  tibble(valor = rpois(length(obs), mean(obs)),   fonte = "Simulado: Poisson"),
  tibble(valor = rnbinom(length(obs), mu = mean(obs), size = .3),
         fonte = "Simulado: Binomial negativa")
) |>
  ggplot(aes(valor)) + geom_bar(fill = "#1c6e8c") +
  facet_wrap(~fonte) + coord_cartesian(xlim = c(0, 8)) +
  labs(x = NULL, y = NULL)

O mesmo truque do Encontro 2: simule sob cada hipótese e veja qual se parece com o que você tem.

Intervalo

15 minutos.

Na volta: a família exponencial.

4. A família exponencial

O que elas têm em comum

Normal, Poisson, Binomial, Gamma, binomial negativa (com \(\theta\) fixo) e Beta podem ser escritas na mesma forma geral:

\[ f(y \mid \theta, \phi) = \exp\!\left\{ \frac{y\theta - b(\theta)}{a(\phi)} + c(y, \phi) \right\} \]

Não é preciso decorar. O que importa é a consequência: como todas compartilham essa estrutura, um único algoritmo ajusta todas — o mesmo glm(), com um argumento family diferente.

Duas ferramentas para brincar com isso

O parentesco entre as distribuições é mais fácil de ver mexendo do que lendo. Duas que valem a hora:

Probability Playground — 33 distribuições com gráficos interativos: você arrasta os parâmetros e vê a forma mudar. É o jeito mais rápido de sentir por que a binomial negativa vira Poisson quando a dispersão some, ou a Poisson vira normal quando \(\lambda\) cresce.

Univariate Distribution Relationships — o mapa completo: 76 distribuições e as setas que as ligam, tudo clicável. Cada seta é uma relação com nome (limite, transformação, caso especial).

Um exercício de cinco minutos que rende: no mapa, encontrem as quatro famílias que vimos hoje e sigam as setas entre elas. As que o curso usa não são um punhado de escolhas soltas — são vizinhas no mapa.

Os três ingredientes de um GLM

  1. Componente aleatório — a distribuição de \(Y\) na família exponencial.
  2. Preditor linear — \(\eta = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\), exatamente o mesmo dos Encontros 2 e 3.
  3. Função de ligação — \(g(\mu) = \eta\), que conecta os dois.

O modelo linear gaussiano é o caso em que a família é Normal e a ligação é a identidade. Vocês já sabem GLM; só tinham visto um caso dele.

5. Função de ligação

O problema que ela resolve

O preditor linear \(\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\) varia de \(-\infty\) a \(+\infty\). Mas:

  • uma contagem esperada não pode ser negativa;
  • uma probabilidade tem de ficar entre 0 e 1.

Ligações canônicas

Família Ligação \(g(\mu)\) Inversa
Normal identidade \(\mu\) \(\eta\)
Poisson log \(\log \mu\) \(e^{\eta}\)
Binomial logit \(\log\frac{\mu}{1-\mu}\) \(\frac{1}{1+e^{-\eta}}\)
Gamma inversa \(1/\mu\) \(1/\eta\)

“Canônica” significa que ela cai naturalmente da álgebra da família. Nada impede usar outra — binomial(link = "probit"), por exemplo — mas a canônica costuma ter as melhores propriedades numéricas.

Ligar não é transformar a resposta

lm(log(y) ~ x) modela a média do log de \(y\).

glm(y ~ x, family = poisson(link = "log")) modela o log da média de \(y\).

São coisas diferentes, e a diferença importa.

set.seed(7)
y <- rpois(300, exp(1 + .05 * (x <- runif(300, 0, 40))))
c(lm_log_y = coef(lm(log(y + 0.5) ~ x))[2],
  glm_log_mu = coef(glm(y ~ x, family = poisson))[2])
  lm_log_y.x glm_log_mu.x 
  0.04905947   0.04934276

Três razões para preferir a ligação

  1. Zeros. log(0) é indefinido; some 0,5 e você inventou dado.
  2. Variância. Transformar muda a distribuição do erro de um jeito que você não controla; a ligação deixa a distribuição intacta.
  3. Interpretação. O coeficiente do GLM é sobre a média — que é o que a pergunta biológica quer.

Isto vale sobretudo para contagens e proporções. Para medidas contínuas positivas, transformar às vezes é razoável — mas a Gamma normalmente é melhor.

Fechamento

O que fica de hoje

  1. A distribuição descreve o processo gerador, não a sua amostra.
  2. Fora da Normal, a variância é função da média — é isso que explica a heterocedasticidade do Encontro 1.
  3. A família exponencial permite um algoritmo único: glm(..., family =).
  4. A ligação mantém a média na escala certa — e não é transformar a resposta.
  5. Simular sob cada hipótese é a forma mais barata de escolher a distribuição.

Prática (o resto do bloco)

  1. Classifique a resposta do seu conjunto de dados: discreta ou contínua? limitada? quantos zeros?
  2. Calcule média e variância por classe de uma preditora e faça o gráfico variância × média.
  3. Simule dados sob duas distribuições candidatas e compare com o observado.
  4. Escreva uma frase justificando a distribuição que você usaria — e guarde: é o item 3 do checklist de Davis & Kay no trabalho final.

Para amanhã

Leitura: Análises Ecológicas no R, cap. 8 (https://analises-ecologicas.com/cap8), seções “Como um GLM funciona?” e “Como escolher a distribuição correta para seus dados?”.

Amanhã de manhã: o GLM propriamente dito — verossimilhança, logística e Poisson.

Referências